B5. Правильный многоугольник

Задание. Длина стороны правильного n-угольника A₁A₂…A_n равна 12. Угол A₁OA₂=45°, где O – центр описанной около многоугольника окружности. Найдите периметр многоугольника.

Теория

Угол правильного n-угольника находим по формуле

Решение

Узнав количество сторон (n), найдем периметр. Для нахождения количества сторон, найдем угол n-угольника. По условию, Угол A₁OA₂=45°, а поскольку, Δ A₁OA₂ – равноберенный, то угол при основании равен (180-45)/2=135/2, тогда каждый внутренний угол многоугольника равен 135°. Теперь, подставив в формулу, найдем количество сторон этого многоугольника

Значит, количество сторон 8, тогда периметр равен 8∙12=96

Ответ. 96

В8, правильный шестиугольник

Задание

Анализ. Для решения задачи необходимо определить тип треугольника A1A3A6. Он будет прямоугольный с углом в 30०. (В решении я докажу этот факт). Далее из формулы площади прямоугольного треугольника найти ту его сторону, которая совпадает со стороной шестиугольника, откуда найдем периметр шестиугольника. Отметим тот факт, что гипотенуза прямоугольного треугольника (является диагональю A3A6) также является диаметром описанной вокруг шестиугольника окружности, а радиус этой окружности равен стороне шестиугольника.

Теория. Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b находим по формуле 

Для нахождения угла правильного n-угольника используют формулу:

Катет, лежащий против угла в 30० равен половине гипотенузы. Если катет обозначить за a, то гипотенуза будет 2a, а второй катет находим по теореме Пифагора: a√3.

Решение. Каждый угол правильного шестиугольника равен

ΔA1A2A3 - равнобедренный с углом при вершине 120०, значит два других его угла по 30०.

Получаем, ΔA1A3A6 - прямоугольный. 

Так как, если мы рассмотрим ΔA1A3A6 и ΔA5A3A6, они будут равны по гипотенузе и катету, а значит ㄥA1A6A3=ㄥA5A6A3, значит A6A3 является биссектрисой угла A5A6A1 и делит его пополам.

Далее в ΔA1A3A6 находим оставшийся угол A1A3A6. 

Катет, лежащий против угла в 30०, обозначаем за a, тогда гипотенуза 2a, а второй катет a√3. По формуле площади:

То есть, катет, лежащий против угла в 30० равен 6, а он совпадает со стороной шестиугольника, значит и сторона шестиугольника равна 6. Периметр - это сумма длин всех сторон, а так как всего 6 сторон и все они равны, то периметр равен

P=6・6 = 36

Ответ. 36

B5, правильный многоугольник.

Задание. Определите количество сторон правильного многоугольника, если его внутреннний угол равен 170॰.

Теория. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника находится по формуле 180॰(n-2).

Решение. Так как у правильного n-угольника равных n углов, то для нахождения каждого его угла разделим сумму углов на количество. Составим уравнение.

Ответ. 36