A13. Неравенства

Задание. Укажите номера верных утверждений:

1)    Решением неравенства (x-2)²>0 является любое число;

2)    Неравенства (x+2)²>0 и 

   равносильны;

3)    Неравенства x²+5≤0 |x|≤√5 равносильные;

4)    Неравенство (x-5)²<0 не имеет решений;

5)    Решением неравенства x²-4>0 являются числа 2 и -2.

Варианты ответов.

1)    1, 3;

2)    1, 5;

3)    3, 4;

4)    2, 4;

5)    2, 5.

Теория. Решением неравенства называется множество ВСЕХ чисел, при подстановки которых в условие вместо переменной, получаем верное числовое равенство. Равносильные неравенства – это неравенства, множества решений которых совпадают.

Практически все эти неравенства можно решить методом интервалов, однако я предложу более простой способ.

Решение

1)    Не верно, так как при x=2 данное неравенство не является верным числовым неравенством.

2)    Верно, так как решением первого неравенства будет любое число кроме -2. (квадрат некоторого числа– число неотрицательное, оно больше нуля всегда, когда под квадратом число, отличное от нуля, а x=-2 обратит выражение, стоящее под квадратом, в 0. Второе неравенство так же имеет решением все числа, кроме -2 (не входит в область определения), то есть квадрат выражения в данном случае строго положительный и 1 разделить на положительное число – положительное число всегда, значит подходит любое число.

3)    Не верно. Первое неравенство не имеет решений, квадрат числа плюс положительное число в результате дадут положительное число, которое ни при каких условиях не может быть меньше отрицательного. Второе неравенство имеет решения, например, 0 или 1.

4)    Верно. Квадрат – число неотрицательное, не может быть меньше отрицательного.

5)    Не верно, так как при подстановке этих чисел вместо переменной, получим неверное числовое равенство.

Ответ. 4