A12. Свойство пересекающихся хорд в окружности

Задание. Диаметр CD окружности с центром в точке O и хорда AB пересекаются в точке M (см. рис). Найдите радиус окружности, если CM=6, BM=9, AM=16.

Варианты ответов:

1)    18;

2)    15;

3)    14;

4)    12,5;

5)    12.

Теория

Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то верно равенство: AM∙MB=CM∙MD. (Если хорды пересекаются, то произведения отрезков, полученных в результате пересечения, равны). Так как по определению диаметра, он является хордой, то это справедливо и в случае, если одна из хорд является диаметром. 

Решение

Далее применяем формулу:

16∙9=6∙MD.
MD=24

Далее по аксиоме измерения отрезков: CD=CM+MD=6+24=30 – длина диаметра. Тогда радиус окружности равен половине радиуса и равен 15.

Ответ. 15