A20. Стереометрия (сечение пирамиды)

Задание. Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S, каждое ребро которой имеет длину, равную 6√2. Точки K, M и N лежат на ребрах SA, SB и SC соответственно так, что SK:SA=3:4, SM:MB=3:1, SC:SN=4:3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, M и N.
Варианты ответов

Решение. Хоть соотношения и пугают, 

на первый взгляд, однако, все внутренние точки разбивают ребра пирамиды в  одинаковых соотношениях. Действительно, из того, что SK:SA=3:4 следует, что SK:KA=3:1, SM:MB=3:1 по условию и SC:SN=4:3 означает, что SN:NC=3:1. Это означает, что KM||AB; MN||BC; KN||AC – по теореме Фалеса. Значит, сечение KMN подобно основанию с коэффициентов подобия 3/4 . (так как ΔSKM∞ΔSAB, k=3/4) Помня о том, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициентов подобия, и найдя площадь основания как площадь равностороннего треугольника со стороной 6√2: S=((6√2)²∙√3)/4=(36∙2∙√3)/4=18√3, составим пропорцию:

Ответ. 1