B1. Арифметическая прогрессия

Задание. Арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена a_n=9-3n. Для начала каждого из предложений А – Г подберите его окончание 1 – 8 так, чтобы получилось верное утверждение:

Начало предложения	Окончание предложения
А) Разность этой прогрессии равна… Б) Номер первого отрицательного члена этой прогрессии равен… В) Число -36 является членом этой прогрессии, его номер равен… Г) Сумма первых шести членов этой прогрессии равна…	1) 4                  5) 15 2) 3                  6) -3 3)-9                  7) 13 4) 9                  8) -15

Теория. Формулы, касающиеся арифметической пргрессии:

Больше теории

Анализ. При решении данной задачи можно воспользоваться формулами, однако для этого необходимо их знать (или уметь выводить), а можно просто выписать все члены, пока не получим ответ на интересующий нас вопрос. Я приведу оба решения.

Решение

По формулам:

По условию, a_n=9-3n, значит, a₁=9-3∙1=6; a₂=9-3∙2=3, значит d=a₂-a₁=3-6=-3 – разность прогрессии. А6.

Номер первого отрицаительного члена найдем из условия: 9-3n<0;→ n>3. Значит, начиная с 4 номера (так как n может принимать только натуральные значения), члены прогрессии будут отрицательные. Б1.

Для того, чтобы узнать, каким членом прогрессии является число -36, подставим его значение в формулу a_n=9-3n→-36=9-3n→n=15. В5.

Сумма первых шести членов равна:

Г3.

Теперь посмотрим, как можно не зная формул, но понимая, что означает формула n-го члена, выполнить данное задание. Формула n-го члена показывает зависимость между номером члена в прогрессии и его значением. Для того, чтобы найти, чему равно значение первого члена прогрессии, необходимо в формулу подставить вместо n=1. Чтобы найти значение второго члена – подставить n=2 и т.д. Разностью прогрессии называется число, на которое каждый следующий член прогрессии, начиная со второго, больше(!!!) предыдущего. Если каждый следующий член меньше предыдущего, значит разность прогрессии будет отрицательной.

a₁=9-3∙1=6; a₂=9-3∙2=3 a₃=9-3∙3=0; a₄=9-3∙4=-3 a₅=9-3∙5=-6; a₆=9-3∙6=-9 a₇=9-3∙7=-12; a₈=9-3∙8=-15 a₉=9-3∙9=-18; a₁₀=9-3∙10=-21 a₁₁=9-3∙11=-24; a₁₂=9-3∙12=-27 a₁₃=9-3∙13=-30; a₁₄=9-3∙14=-33 a₁₅=9-3∙15=-36;

Получаем, что А) разность прогрессии -3 (6), Б) первый отрицательный 4 (1), В) число -36 является 15-м членом. (5), Г) сумма первых шести членов 6+3+0+-3+-6+-9=-9 (3).

Ответ. А6Б1В5Г3.