Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной области

 Для начала необходимо построить заданную область.

Функция x=0 – прямая, параллельная оси Oy, проходящая через точки, абсцисса (x)  которых равна 0, то есть сама ось Oy.

Функция y=0 – прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точки, ордината (y) которых равна 0, то есть сама ось Ox.

Для построения графика функции x+y-1=0 выразим y: y=1-x – линейная функция. Для построения ее графика составим таблицу на 2 точки: значение x берем любое (0 и 1), и считаем для них соответственные значения y, подставляя их в получившуюся формулу:

При x=0, y=1-0=1

При x=1, y=1-1=0

Получаем точки:

 Чертим область D

 Заштрихованная область – область D:

Далее наибольшее и наименьшее значение в области D функция может принимать либо в точках экстремума (если они находятся в области), либо на граничных прямых
 (x=0; y=0; y=1-x), либо в граничных точках: (0; 0); (1; 0); (0; 1). Рассмотрим все три случая.

        Точку экстремума находим по формуле:

        Теперь рассмотрим поведение функции на граничных линиях и найдем экстремумы на них.

        Находим значения функции в граничных точках E(0; 0); F(1; 0); G(0; 1)

1

              z(0; 0)=3⋅0+3⋅0-2⋅0-2⋅0+2=2;

              z(1; 0)=3⋅1+3⋅0-2⋅1-2⋅0+2=3

              z(0; 1)=3⋅0+3⋅1-2⋅0-2⋅1+2=3;

Наибольшее z(0; 1)=z(1;0)=3
Наименьшее z(1/3; 1/3)=4/3