В7, логарифмическое неравенство

Задание. Найдите произведение наименьшего и наибольшего решений неравенства

 Теория Здесь
Анализ. Будем внимательны, так как основание логарифма - число, меньше 1, что говорит нам о том, что нужно будет менять знак неравенства, когда приведем логарифмы к одинаковому основанию. 

Решение. Приведем логарифмы к одинаковому основанию

Так как основание логарифма - число 1/3, а оно меньше 1, то необходимо развернуть знак неравенства. После этого "носик" неравенства смотрит на выражение, содержащее переменную, значит необходимо выставить условие существования этого логарифма (число под логарифмом неотрицательное). Переходим к системе неравенств:

 Решим сначала первое неравенство. Оно дробно-рациональное. Решаем его методом интервалов, но сначала перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю:

Три условия, необходимые для решения функции методом интервалов, соблюдены, рассмотрим функцию.

Область определения x≠-14, нули функции: x=-6. Наносим на числовую прямую (ноль функции закрашен, так как неравенство нестрогое) и находим знак функции в каждом интервале:

 Решим второе неравенство. Оно так же дробно-рациональное. Можно сразу переходить к методу интервалов, так как три условия соблюдены. Рассмотрим функцию

 Область определения x≠-14, нули функции: x=2. Наносим на числовую прямую (ноль функции не закрашен, так как неравенство строгое) и находим знак функции в каждом интервале:

 Находим общее решение для двух неравенств:

 Получаем наложение промежутков:

В задании просили найти произведение наименьшего и наибольшего решений неравенства. Наименьшее целое: -6, наибольшее целое: 1 (так как граница, число 2, не входит, а ближайшее целое, меньшее чем 2 - число 1)

Их произведение -6•1=-6

Ответ: -6