A18, призма

Задание 

Анализ. Будем внимательны, так как дано отношение AM : AB. (а не AM : MB). Задача имеет два решения, однако они оба основаны на подобии треугольников. Приведу решение, в котором построю сечение призмы плоскостью PMK.

Теория. Правильной призмой называется многогранник, у которого в основании лежат правильные n-угольник, а боковые грани - прямоугольники. (По условию все ребра призмы равны, значит боковые грани являются квадратами)

Решение. Построим сечение призмы плоскостью PMK. M и K лежат в одной плоскости, поэтому соединим их. M и P также лежат в одной плоскости, поэтому тоже соединяем их. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения будут параллельны между собой. Плоскость PMK пересекает плоскость ABC по прямой MK. Так как плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, то плоскость PMK будет пересекать плоскость A1B1C1 по прямой, параллельной MK. Проведем через точку P прямую, параллельную MK. Она пересекает B1C1 в точке X.

Получили искомое сечение PMKX. (подробнее о сечениях)

Теперь будем искать отрезок KX.

Для начала найдем получившиеся отрезки.

BK=12; PB1=12;

AM : AB = 1 : 3. так как AB=24, то AM = 8, значит MB=16.

△MBKလ△PB1X (докажите самостоятельно), значит
MB : PB1 = BK : B1X или 16 : 12 = 12 : B1X. Откуда B1X=9.

Фигура B1XKB - прямоугольная трапеция (BK॥B1X)

Опустим высоту XH. BH = B1X = 9; Значит HK=12-9=3. XH = BB1 = 24. Из △XHK по теореме Пифагора находим искомый отрезок KX: KX = √(9+576) = √585=3√65.

Ответ. 2