В прямоугольном треугольнике ABC (угол C - прямой) проведена высота CH. Найдите площадь треугольника, если косинус угла А равен 7/25, а площадь треугольника ACH равна 9,8.

Способ 1.

Анализ. Идея состоит в том, чтобы ввести переменную, выразить через нее все стороны треугольника ACH, используя соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, затем найти эту переменную, используя значение площади.

Далее вычислить оставшиеся элементы треугольника ABC и найти его площадь.

Решение.

Рассмотрим треугольник ACH:

Пусть AH = x, тогда:

По теореме Пифагора:

Исходя из формулы площади треугольника:

Находить x нет смысла, так как в задачи необходимо найти площадь треугольника, а это квадратная величина и неизвестная x будет присутствовать в расчетах также во второй степени. Выразим через х гипотенузу AB треугольника ABC, для этого воспользуемся формулой: 

Находим площадь треугольника ABC:

Ответ: 125

Способ 2

Анализ: идея состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между формулами площадей треугольников.

Решение: 

Замечаем, что формулы отличаются одним элементом. Теперь необходимо выразить неизвестный нам элемент, гипотенузу AB через AH. Для этого воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольники (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Из треугольника ACH:

Из треугольника ABC:

Выражаем AB через AH:

Находим площадь треугольника ABC.

Ответ: 125.