Страницы

суббота, 27 января 2018 г.

Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами 3 и 4. Найдите периметр заданного треугольника.

Способ 1.
Анализ. Очевидно, что





Поэтому используя подобие треугольников, выразим через одну переменную стороны и свяжем их, используя данные значения периметров, а так же теорему Пифагора.
Решение. Так как 
то 
Пусть AH=x, BH=y, CH=h, тогда AC=4-(x+y), CB=3-(y+h).
Учитывая, что 
Из треугольника ACH по теореме Пифагора:
Свяжем теперь три стороны, используя периметр и найдем значение h:
Осталось подставить
Ответ: 5.



Способ 2.
Оказывается, что сумма квадратов периметров двух треугольников, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник, равна квадрату периметра этого треугольника.
Докажем это в общем виде.
Для начала напомню формулу квадрата суммы трех слагаемых:

Рассмотрим треугольники:
Пусть CB=a; AC=b, CH=h, HB=x, тогда AH=c-x. Учитывая, что угол A и угол BCH равны, получаем:
Для удобства в дальнейшем доказательстве я обозначила каждое равенство отдельным цветом. Далее находим сумму квадратов периметров "малых" треугольников:


Теперь, очевидно, для нахождения периметра треугольника необходимо
Ответ: 5.

2 комментария: