В прямоугольном треугольнике разность катетов равна 4, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 3. Найдите площадь треугольника.

 Анализ. Попытки выразить проекции катетов на гипотенузу через неизвестные и связать эти неизвестные теоремой Пифагора, приводят к сложным иррациональным уравнениям либо рациональным уравнениям четвертой степени. Однако интересным оказывается следующее решение.

Решение. Воспользуемся тем, что площадь прямоугольного треугольника можно найти несколькими способами:

Становится очевидным, что AB・CH=AC・CB.

Учитывая, что дана разность катетов, а так же воспользуемся теоремой Пифагора 

произведем следующие преобразования:

Получили квадратное уравнение относительно неизвестной AB. Решая его, по смыслу задачи подходит AB=8. Далее найденное значение гипотенузы подставляем в формулу площади, откуда находим, что площадь треугольника равна 12.

Ответ: 12