A4. Радианная и градусная мера угла

Задание. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна 

Варианты ответов:

1. 95;
2. 105;
3. 103;
4. 100;
5. 110.

Теория. π=180°
Решение. Подставляем:

Ответ. 4

A3. Свойства степеней

Задание. Укажите номер выражения, которое принимает наибольшее значение

Варианты ответов.

1. 1;
2. 2;
3. 3;
4. 4;
5. 5.

Теория. Здесь
Решение. Приведем все выражения к одному основанию:

Нам предстоит сравнить числа 2^15,5 , 2^9,3 2^29,1 2^20,8 , 2⁵ . Так  как основание одинаковое, а разные степени, целесообразно ввести в рассмотрение показательную функцию y=2^x. Так как функция возрастающая на всей области определение, то чем больше значение аргумента (степени), тем больше значение и самой функции. Значит, среди указанные выражений наибольшим является 2^29,1 или (3)

Ответ. 3

A2. Сумма углов треугольника, параллельные прямые

Задание. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC через вершину B проведена прямая BK, параллельная стороне AC. Если ےABC=52°, то градусная мера угла KBC равна: 

Варианты ответов.

1. 128;
2. 64;
3. 52;
4. 38;
5. 26.

Теория. Сумма углов треугольника равна 180°, у равнобедренного треугольника углы при основании равны и что внутренние накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.

Решение. В треугольнике ABC ےA=ےC=(180°-52°):2=64°.

ےKBC=ےACB=64° (как накрест лежащие).

Ответ. 2

A1. Числовая прямая

Задание. Найдите сумму чисел, которые на координатной прямой находятся на расстоянии 4 единицы от числа -7.
Варианты ответов.

1. -14;
2. 8;
3. -8;
4. 14;
5. 0.

Решение. Изобразим на координатной прямой число -7 и отметим два числа, которые находятся на расстоянии 4 от числа -7:

То есть числа -11 и -3 находятся на координатной прямой на расстоянии 4 единицы от числа -7. Их сумма -11+(-3)=-14

Ответ: 1.

A9. Окружность и касательная

Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=20, AM:MO=1:2. Найдите длину радиуса окружности.

Варианты ответов

Решение 

1 способ.

Продлим радиус OM до пересечения с окружностью в точке C (MC – диаметр). По условию , AM:MO=1:2. Пусть , AM=x, тогда MO=2x. OC=MO=2x (как радиусы). AC=AM+MO+OC=5x.

Воспользуемся теоремой о том, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть AB²=AC∙AM=5x². То есть AB=x√5 По условию AB=20, значит

20=x√5

x=20/√5=4√5

радиус OM=2x=8√5

2 способ

Проведем радиус OB=MO=2x и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).

По теореме Пифагора:

AO²=AB²+OB²

(3x)²=20²+(2x)²

9x²=400+4x²

5x²=400

x²=80

x=√80=4√5

радиус OM=2x=8√5

Ответ. 2

B3 текстовая задача с переводом единиц измерения

Задание. За потребление воды заплатили 8 руб. 82 коп. Сколько литров воды израсходовали, если стоимость 1 м³ равна 84 коп.?
Теория. здесь
Анализ. Обратим внимание, что дана стоимость 1 м³, а вопрос – сколько литров. Поэтому нужно знать, что 1 литр = 1 дм³. 
Решение. Вопрос задачи в литрах, поэтому узнаем стоимость одного литра воды

1 м³ = 1∙(10 дм)³=1000 дм³

Значит, стоимость 1000 дм³ равна 84 коп., тогда стоимость 1 дм³=0,084 коп. Так как заплатили 8 руб. 82 коп. = 882 коп, то израсходовали 882:0,084=10500 дм³ или 10500 литров

Ответ: 10500

B4, система уравнений

Задание. Пусть (x₁, y₁); (x₂; y₂) – решение системы уравнений

Найдите значение выражения x₁y₂+x₂y₁ 
Анализ. Обычно при решении систем уравнений второй степени пытаются преобразовать уравнение так, чтобы максимально упростить вычисления, однако здесь оба способа (подстановки и с преобразованиями) одинаково энергозатратны
Решение

1 способ (очевидный)

2 способ (красивый)

Ответ: -13

B5. Иррациональные числа

Задание. Найдите значение выражения

Теория. здесь
Анализ.Произведем вычисления в два этапа.
Решение.

Для нахождения значения следующего выражения необходимо выделить под корнем полный квадрат

Выполняем умножение:

Ответ. -35

B6. Дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства

Теория. Здесь

Анализ. Дробно-рациональное неравенство, сделаем в правой части 0, приведем к общему знаменателю, разложим на простые множители и решим методом интервалов.

Решение.

Вспомним формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

Ответ. 60

B8. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите произведение корней уравнения

 Теория. Здесь
Анализ. Иррациональное уравнение, простейшее, третьего типа.
Решение. Сразу вводим замену.

Пусть x²=t, тогда

Обратная замена:

Произведение корней -46

Ответ. -46