B4. Угол между плоскостями

 

Теория  

Решение. Пусть CH – расстояние от точки C до плоскости β, а CM – расстояние от точки C до прямой l. По определению расстояния CH – перпендикуляр на плоскость β, CM┴l. Теорема о трех перпендикулярах: CH – перпендикуляр, CM – наклонная MH – проекция, прямая l перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и проекции. 

φ – угол между плоскостями, по определению он равен углу между перпендикулярами к прямой l, то есть между прямыми HM и CM, то есть углу CMH. Треугольник CHM – прямоугольный, у которого катет CH в 16 раз меньше гипотенузы CM. Обозначив CH=x, CM=16x, по теореме Пифагора MH=x√255, значит, tg φ – это отношение CH к MH, то есть tg φ = 1/√255, тогда 1/(tg² φ)=255.

Ответ. 255