A20. Сечение

Задание. SABC – правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 13. Точка M лежит на ребре SB так, что BM:MS=2:1, NϵSA, NA:AS=1:3 (см. рис). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N и параллельная ребру BC, пересекает основание ABC пирамиды.

Варианты ответов:

Решение

Построим искомый отрезок: соединим точки

M и N, так как они лежат в плоскости ABS. Пусть отрезок MN пересекает ребро AB в точке X. Проведем через X отрезок параллельный BC, который пересекает ребро AC в точке Y. XY – искомый отрезок. Для его нахождения необходимо узнать, в каком отношении точка X разбивает ребро AB. Для этого проведем прямую MP в плоскости ABS (P – точка пересечения MP и SA. AP:PS=BM:MS=2:1. SM=SP=MP. Пусть AN=x, тогда AS=3x, откуда AP=2x, SP=MP=x. Рассмотрим подобные треугольники NAX и NMP, k=AN:NP=AX:MP, k=1/3, значит, AX=x/3, учитывая, что AB=3x, получаем, AX:AB=1:9, то есть AXY – равносторонний треугольник со стороной AB/9=13/9= 1 4/9.

Ответ. 2

Видео разбор наиболее сложных заданий части а