B8. Дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства

Теория Здесь

Анализ

Стандартное дробно-рациональное неравенство, сложности при решении могут возникнуть разве что при разложении на линейные множители выражения x⁴-14x²-32, однако заметив, что x⁴=(x²)², оно легко раскладывается по формуле квадратного трехчлена: (x²)²-14x²-32=(x²-16)(x²+2) Далее первую скобку можно разложить как разность квадратов, а вторую разложить на линейные множители нельзя, но учтем, что при любом значении переменной, выражение x²+2 положительно, поэтому при проверке знака, вместо данной скобки можно всегда записывать +. Итак, (x²)²-14x²-32=(x-4)(x+4)(x²+2).

Знаменатель – квадрат разности: x2+8x+16=(x+4)²

Решение

Наименьшее целое решение -12, количество: (-12; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4) 9

Произведение -12∙9=-108.

Ответ -108