B7. Планиметрия

Задание. Точка M лежит внутри угла A равного 60° и находится на расстоянии √7 и 4√7 от его сторон. Найдите длину отрезка AM.

Решение

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, значит, треугольники AMN и AKM – прямоугольные. Вокруг каждого из них можно описать окружность, центр которой лежит на середине AM и радиусом, равным половине AM, то есть, эти окружности совпадают, а значит, около четырехугольника ANMK можно описать окружность, значит, ےA+ےM=180°, откуда ےM=120°. 

Далее по теореме косинусов из треугольника MNK находим сторону NK:
NK²=MN²+MK²-2∙MK∙MK∙cos120°.
NK²=7+16∙7-2∙√7∙4√7∙(-1/2)=7+16∙7+4∙7=7∙21=49∙3
NK=7√3.

Так как та же самая окружность описана и вокруг треугольника ANK, то по теореме синусов NK/(sinA)=2R, находим R=NK/(2sinA)=7√3/(2∙√3/2)=7.

AM является диаметром окружности, значит, d=2R=14.

Ответ. 14