А1. Отношение делимости (четность/нечетность)

Задание Среди данных чисел укажите номера четных, если известно, что число b – нечетное.

1)    b+16;

2)    2b;

3)    b+121

4)    b+64

5)    b+144

Варианты ответов:

1)    1 и 5;

2)    2 и 4;

3)    3 и 5;

4)    2 и 3;

5)    1 и 4.

Теория Число называется четным, если оно кратно 2 (делится на 2 без остатка). Четное число в общем виде можно записать как 2n, где n – целое число, тогда число, записанное в виде 2n+1 является нечетным, так как при делении на 2 даст остаток 1. Поскольку остаток от деления всегда меньше делителя, а мы рассматриваем числа в отношении делимости на 2, то остаток может быть либо 0 – число делится на 2 без остатка, либо 1 – число не делится на 2 без остатка. Поэтому любое число является либо четным, либо нечетным и третьего не существует. Очевидно, что все целые числа, записанные по порядку, чередуют свою четность: если некоторое число четное, что следующее за ним – нечетное, а затем будет снова четное число. Если в записи числа присутствует множитель 2, то оно делится на 2 без остатка, а значит, является четным.

Анализ. Самое простое при решении данного задания – взять подставить вместо числа n любое нечетное число, например, 3 и посмотреть, четным или нечетным окажется результат, однако я приведу более подробное и правильное решение.

Решение. По условию сказано, что b – нечетное число, значит, его можно записать в виде b=2n+1, тогда

1)    b+16=2n+1+16=2n+16+1=2(n+8)+1 – нечетное число (2(n+8) – четное, так как содержит множитель 2, а значит, делится на 2 без остатка, а 2(n+8)+1 – следующее за ним, значит, нечетное)

2)    2b=2(2n+1) – четное число, так как содержит множитель 2.

3)    b+121=2n+1+121=2n+122=2(n+61) – четное число

4)    b+64=2n+1+64=2n+64+1=2(n+32)+1 – нечетное число

5)    b+144=2n+1+144=2n+144+1=2(n+72)+1 – нечетное число

Ответ: 4.