Страницы

понедельник, 1 апреля 2019 г.

A7. Свойства касательной


Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=415, AM-MO=3. Найдите длину радиуса окружности.  

Варианты ответов.

  1. 11;
  2. 4;
  3. 7;
  4. 3;
  5. 15.

Анализ. Так как по условию AM-MO=3, что можно перефразировать как «AM больше MO на 3. Две величины неизвестны, однако, связаны соотношением, поэтому удобно меньшую из них взять за x, то есть MO(радиус)=x, тогда AM=x+3.
ТеорияРадиус перпендикулярен касательной в точке касания.
Решение. Так как O – центр окружности, а точка B принадлежит окружности, то проведем радиус OB и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:
По теореме Пифагора:
AO2=AB2+OB2.
AO=AM+MO=x+(x+3)=2x+3;
OB=OM=x (как радиусы);
AB=4√15 (по условию).
Подставляем в уравнение:
(2x+3)2=(4√15)2+x2;
4x2+12x+9=240+x2;
3x2+12x-231=0 |:3;
x2+4x-77=0
Откуда x=-11 (не подходит) или x=7.
Значит, MO(радиус)=7.
Ответ. 3

Комментариев нет:

Отправить комментарий