A7. Свойства касательной

Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=4√15, AM-MO=3. Найдите длину радиуса окружности.  

Варианты ответов.

1. 11;
2. 4;
3. 7;
4. 3;
5. 15.

Анализ. Так как по условию AM-MO=3, что можно перефразировать как «AM больше MO на 3. Две величины неизвестны, однако, связаны соотношением, поэтому удобно меньшую из них взять за x, то есть MO(радиус)=x, тогда AM=x+3.

Теория. Радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Решение. Так как O – центр окружности, а точка B принадлежит окружности, то проведем радиус OB и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

По теореме Пифагора:

AO²=AB²+OB².

AO=AM+MO=x+(x+3)=2x+3;

OB=OM=x (как радиусы);

AB=4√15 (по условию).

Подставляем в уравнение:

(2x+3)²=(4√15)²+x²;

4x²+12x+9=240+x²;

3x²+12x-231=0 |:3;

x²+4x-77=0

Откуда x=-11 (не подходит) или x=7.

Значит, MO(радиус)=7.

Ответ. 3