Страницы

понедельник, 25 февраля 2019 г.

B7. Площади фигур

Задание. Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точки M и N лежат на сторонах AD и CD параллелограмма так, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Найдите площадь треугольника BMN
Анализ. Параллелограмм – квадрируемая фигура, то есть при разбиении параллелограмма на несколько фигур, сумма площадей всех получившихся фигур равна площади параллелограмма. Таким образом, можно найти площади треугольников ABM, BCN, MND и затем вычесть их сумму из площади параллелограмма, получив таким образом площадь треугольника BMN. 
Теория. Площадь параллелограмма находим по формуле S=absinα, где α – угол, между смежными сторонами, площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит сумма углов, прилежащих к одной и той же стороне равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей). Если сумма двух углов равна 180°, то их синусы равны (по формуле приведения). Пусть α+β=180°, тогда sin α = sin (180°-β) = sin β.
Решение. Учитывая, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Пусть AM = x, тогда MD = 3x, CN=3y, ND=2y, BC=AD=AM+MD=4x, AB=CD=3y+2y=5y.
S(ABCD)=ABADsinα=4x5ysinα=20xysinα=80, откуда xysinα=4
S(ABM)=1/2ABAMsinα=1/2x5ysinα=5/2 xysinα=10
S(NDM)=1/2DNMDsinα=1/2∙3x2ysinα=3 xysinα=12
S(BCN)=1/2BCCNsinα=1/2∙4x3ysinα=6 xysinα=24
S(BMN)= S(ABCD)-( S(ABM)+ S(NDM)+ S(BCN))=80-(10+12+24)=80-46=34
Ответ. 34

Комментариев нет:

Отправить комментарий