A16. Угол между прямой и плоскостью

Задание. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4. Если диагональ параллелепипеда образует с большей по площади боковой гранью угол, тангенс которого равен √2/4, то тангенс угла наклона этой диагонали к площади основания равен

Варианты ответов.

1)    √14/5;

2)    2√14/5;

3)    2√7/3;

4)    √6/4;

5)    √42/7.

Теория. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Анализ. Для решения задачи необходимо определить, какая из боковых граней большая по площади. Так как каждая грань – прямоугольник, а площадь прямоугольника S=ab, то есть произведение его смежных сторон, причем одна из сторон и в одном и во втором случае – высота параллелепипеда, то больше будет площадь той грани, которая построена на большей стороне основания.

Решение.

Пусть AD=3. ВС=4.

Определим угол между диагональю и плоскостью (DСС₁). AD┴(DСС₁), так как AD┴DС как смежные стороны прямоугольника ABCD и AD┴СС₁, так как СС₁┴(ABC), а значит, СС₁ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости (ABC). Получаем, AD перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (DСС₁), значит, перпендикулярно и самой плоскости.

То есть AD – перпендикуляр к плоскости (DСС₁), AC₁ – наклонная, DC₁ – ее проекция на плоскость (DСС₁), значит, угол между прямой AC₁ и плоскостью (DСС₁) равен углу AC₁D. По условию tgے AC₁D =√2/4. Из соотношений в прямоугольном треугольнике AC₁D, tgے AC₁D =AD/DC₁, по условию AD=3, значит, DC₁=AD/ tgے AC₁D =3/(√2/4)=12/√2=6√2.

Угол между диагональю и плоскостью основания равен углу C₁AC (СС₁ – перпендикуляр к плоскости (ABC), AC₁ – наклонная, AC – ее проекция на плоскость (ABC)). tgے C₁AC = СС₁/ AC

AC находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC. AC=5. СС₁ находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СС₁D. СС₁=2√14

Значит, tgے C₁AC = 2√14/5

Ответ. 2