Страницы

вторник, 19 февраля 2019 г.

A16. Угол между прямой и плоскостью

Задание. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4. Если диагональ параллелепипеда образует с большей по площади боковой гранью угол, тангенс которого равен 2/4, то тангенс угла наклона этой диагонали к площади основания равен
Варианты ответов.
1)    14/5;
2)    214/5;
3)    27/3;
4)    6/4;
5)    42/7.
Теория. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Анализ. Для решения задачи необходимо определить, какая из боковых граней большая по площади. Так как каждая грань – прямоугольник, а площадь прямоугольника S=ab, то есть произведение его смежных сторон, причем одна из сторон и в одном и во втором случае – высота параллелепипеда, то больше будет площадь той грани, которая построена на большей стороне основания.
Решение.
Пусть AD=3. ВС=4.

Определим угол между диагональю и плоскостью (DСС1). AD┴(DСС1), так как AD как смежные стороны прямоугольника ABCD и ADСС1, так как СС1┴(ABC), а значит, СС1 перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости (ABC). Получаем, AD перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (DСС1), значит, перпендикулярно и самой плоскости.
То есть AD – перпендикуляр к плоскости (DСС1), AC1 – наклонная, DC1 – ее проекция на плоскость (DСС1), значит, угол между прямой AC1 и плоскостью (DСС1) равен углу AC1D. По условию tgے AC1D =√2/4. Из соотношений в прямоугольном треугольнике AC1D, tgے AC1D =AD/DC1, по условию AD=3, значит, DC1=AD/ tgے AC1D =3/(√2/4)=12/√2=6√2.
Угол между диагональю и плоскостью основания равен углу C1AC (СС1 – перпендикуляр к плоскости (ABC), AC1 – наклонная, AC – ее проекция на плоскость (ABC)). tgے C1AC = СС1/ AC
AC находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC. AC=5. СС1 находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СС1D. СС1=2√14

Значит, tgے C1AC = 2√14/5
Ответ. 2

Комментариев нет:

Отправить комментарий