A12. Окружность, углы в окружности, касательные.

Задание. Из точки A к окружности проведены касательные AB, AC и секущая AM, проходящая через центр окружности O. Точки B, C и M принадлежат окружности (см. рис). Найдите градусную меру угла 1, если ےCAO=34°.

Варианты ответов

1. 34°
2. 17°
3. 68°
4. 56°
5. 60°

Решение

Проведем радиус OC, тогда треугольники COA и BOA равны (CO=OB как радиусы, CA=BA как отрезки касательных, проведенные из одной точки, AO – общая), значит ےCAO=ےBAO=34°. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ےABO=90°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому из треугольника AOB: ے1=180°-(90°+34°)=56°.

Ответ. 4