Страницы

среда, 13 февраля 2019 г.

A9. Окружность и касательная

Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=20, AM:MO=1:2. Найдите длину радиуса окружности.
Варианты ответов







Решение 
1 способ.
Продлим радиус OM до пересечения с окружностью в точке C (MC – диаметр). По условию , AM:MO=1:2. Пусть , AM=x, тогда MO=2x. OC=MO=2x (как радиусы). AC=AM+MO+OC=5x.
Воспользуемся теоремой о том, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть AB2=ACAM=5x2. То есть AB=x5 По условию AB=20, значит

20=x5
x=20/5=45
радиус OM=2x=85
2 способ
Проведем радиус OB=MO=2x и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).
По теореме Пифагора:
AO2=AB2+OB2
(3x)2=202+(2x)2
9x2=400+4x2
5x2=400
x2=80
x=√80=4√5
радиус OM=2x=85
Ответ. 2

Комментариев нет:

Отправить комментарий