A9. Окружность и касательная

Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=20, AM:MO=1:2. Найдите длину радиуса окружности.

Варианты ответов

Решение 

1 способ.

Продлим радиус OM до пересечения с окружностью в точке C (MC – диаметр). По условию , AM:MO=1:2. Пусть , AM=x, тогда MO=2x. OC=MO=2x (как радиусы). AC=AM+MO+OC=5x.

Воспользуемся теоремой о том, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть AB²=AC∙AM=5x². То есть AB=x√5 По условию AB=20, значит

20=x√5

x=20/√5=4√5

радиус OM=2x=8√5

2 способ

Проведем радиус OB=MO=2x и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).

По теореме Пифагора:

AO²=AB²+OB²

(3x)²=20²+(2x)²

9x²=400+4x²

5x²=400

x²=80

x=√80=4√5

радиус OM=2x=8√5

Ответ. 2