A18. Развертка

Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁,

основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник (ےA=90°), и ее развертка. Боковая грань BB₁C₁C является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы, если длина ломаной C₁MB равна 

 и точки C₁, M и B лежат на одной прямой.
Варианты ответов.

1)    14+21√2;

2)    28+14√2;

3)    21√3+14√2;

4)    14+21√2;

5)    21+14√2.

Решение. 

Определим, какие фигуры получились в развертке.

Так как по условию ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник (ےA=90°), обозначим AC=AB=x, тогда BC=x√2, значит B₁C₁=BC=x√2, а так как BB₁C₁C является квадратом, то и CC₁= x√2, то есть все боковые грани призмы x√2, в частности, AA₁= x√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁:

AB=x, AC₁=AA₁+A₁C₁=(x+x√2), BC₁ давно в условии. Связываем теоремой Пифагора: AB²+С₁A²=C₁B².

x²+( x+x√2)²=28+14√2;

2x²+x²+2x²+2√2x²=28+14√2

(4+2√2)x²=7(4+2√2)

x²=7

S_п.пов.=2S(ABC)+2S(AA₁C₁C)+S(BB₁C₁C)=2∙1/2x²+2x²√2+(x√2)²=7+2∙7√2+2∙7==21+14√2

Ответ. 5