A5. Свойства касательной к окружности

Задание.Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Прямая, проходящая через точки C и O, пересекает прямую AB в точке M (см. рисунок). Найдите градусную меру угла OAC, если градусная мера угла AMO равна 48°. 

Варианты ответов.

1)    24;

2)    15;

3)    42;

4)    21;
5)    30.

Теория. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.
Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, значит ∠OCA=90० (так как OC – радиус). В треугольнике AMC: ∠OCA=90०, ∠AMC=48०  по условию, значит,∠MAC=180०-(90०+48०)=42०

Далее если соединить точки O и B (провести радиус OB), то из равенства треугольников ᇫOCA=ᇫOBA по трем сторонам (OB=OC как радиусы, OA – общая, AB=AC как касательные, проведенные к окружности из одной точки), следует равенство углов BAO и CAO, что означает

Ответ. 4