Перевод периодических дробей в обыкновенные дроби

Рассмотрим дробь 0,5(2). К слову, ни на одном из ЦТ прошлых лет не встречалось задание на перевод этой дроби в обыкновенную, однако именно такое задание попалось в прошлом году на выпускном экзамене для базового уровня. На ЦТ же встречались задания, где просто необходимо было знать, что 0,5(2)=0,5222222222...

При выполнении каких-либо арифметических действий с данной дробью, её сначала надо перевести в обыкновенную. Покажем, как это сделать.

Для начала убедимся, что любое число можно представить в виде суммы: 853=800+50+3; 3,15=3+0,1+0,05; 0,8536=0,8+0,05+0,003+0,0006.

Аналогично число 0,5(2)=0,522222222..=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...

Легко заметить, что начиная со второго слагаемого у нас прослеживается некая закономерность, а именно, числа 0,02; 0,002; 0,0002; 0,00002 и т.д. составляют геометрическую прогрессию, т.к. каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, на 0,1. Для нахождения этого числа достаточно разделить любой член прогрессии на предыдущий, например, третий на второй 0,0002:0,002=0,1 или второй на первый: 0,002:0,02=0,1 (важно! для того, чтобы не совершить ошибок, при делении десятичных дробей обратите их в обыкновенные). Число 0,1 постоянно и называется знаменателем прогрессии и обозначается q. Т.к. |q|<1, а 0,1<1, то прогрессия называется бесконечно убывающей и можно найти ее сумму по формуле

Где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель.

В нашем случае b1=0,02; q=0,1.

Находим 

Итак мы получаем, что 0,5(2)=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...=0,5+2/90=47/90.

Т.е. 0,5(2)=47/90

Задание: самостоятельно перевести в обыкновенные дроби числа

0,(3)

0,2(6)

0,(18) Подсказка: 0,(18)=0,1818181818...=0,18+0,0018+0,000018+...