Перевод периодических дробей в обыкновенные дроби

Рассмотрим дробь 0,5(2). К слову, ни на одном из ЦТ прошлых лет не встречалось задание на перевод этой дроби в обыкновенную, однако именно такое задание попалось в прошлом году на выпускном экзамене для базового уровня. На ЦТ же встречались задания, где просто необходимо было знать, что 0,5(2)=0,5222222222...

При выполнении каких-либо арифметических действий с данной дробью, её сначала надо перевести в обыкновенную. Покажем, как это сделать.

Для начала убедимся, что любое число можно представить в виде суммы: 853=800+50+3; 3,15=3+0,1+0,05; 0,8536=0,8+0,05+0,003+0,0006.

Аналогично число 0,5(2)=0,522222222..=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...

Легко заметить, что начиная со второго слагаемого у нас прослеживается некая закономерность, а именно, числа 0,02; 0,002; 0,0002; 0,00002 и т.д. составляют геометрическую прогрессию, т.к. каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, на 0,1. Для нахождения этого числа достаточно разделить любой член прогрессии на предыдущий, например, третий на второй 0,0002:0,002=0,1 или второй на первый: 0,002:0,02=0,1 (важно! для того, чтобы не совершить ошибок, при делении десятичных дробей обратите их в обыкновенные). Число 0,1 постоянно и называется знаменателем прогрессии и обозначается q. Т.к. |q|<1, а 0,1<1, то прогрессия называется бесконечно убывающей и можно найти ее сумму по формуле

Где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель.

В нашем случае b1=0,02; q=0,1.

Находим 

Итак мы получаем, что 0,5(2)=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...=0,5+2/90=47/90.

Т.е. 0,5(2)=47/90

Задание: самостоятельно перевести в обыкновенные дроби числа

0,(3)

0,2(6)

0,(18) Подсказка: 0,(18)=0,1818181818...=0,18+0,0018+0,000018+...

Внесение (вынесение) множителя из-под знака корня

Сегодня рассмотрим следующую тему: как вносить или выносить множитель из-под знака корня. Именно множитель (!!!) в предыдущей публикации были слагаемые - их никуда выносить нельзя. Я рассмотрю данную тему на примере квадратного корня, однако аналогичные преобразования могут быть выполнены с корнями любой четной степени.

Для начала разберем, что означают записи:

x>0 означает, что переменная x положительна;

x<0 означает, что переменная x отрицательна;

x≥0 означает, что переменная x неотрицательна;

x≤0 означает, что переменная x неположительна.

Никакой знак минус перед переменной не укажет вам на знак переменной! Запись -x>0 является всего лишь линейным неравенством с одной переменной, решая которое (умножаем обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный), получаем x<0, что говорит о том, что переменная отрицательна. 

Вынесение из-под знака корня.

Здесь нам пригодится уже знакомое тождество

Пример: Вынести множитель из-под знака корня:

Выполняем следующую цепочку преобразований, главная цель которой заключается в том, чтобы у максимального числа множителей под знаком корня выделить вторую степень (т.к. корень второй степени).

И сейчас нам нужно раскрыть знак модуля. С числом вопросов не возникает: |-3|=3, однако с переменной не все так однозначно. Для того, чтобы раскрыть модуль для переменной необходимо воспользоваться определением модуля и узнать, какой знак имеет переменная (положительна или отрицательна). Так как в тексте задания отсутствует условие, накладывающее ограничения на переменную, начинаем искать скрытые подсказки. И тут на помощь нам приходит естественная область определения данного выражения. Так как выражение под корнем всегда неотрицательно, а под корнем у нас остался x, накладываем условие: x≥0, это означает, что x^3≥0, а значит |x^3|=x^3:

Рассмотрим еще один пример:

Здесь нас не интересует знак переменной x, так как применимо равенство: 

Теперь о внесении под знак корня.

Пример: внести под знак корня

Так как вносить под корень четной степени можно только неотрицательный множитель, необходимо определить знак выражения -2b. Для этого рассмотрим естественную область определения: b^3≥0, значит b≥0, а значит -2b≤0. Получили, что множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

 Внести под знак корня

Естественная область определения: -a≥0, значит a≤0, а значит 3a≤0. Множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

 Внести под знак корня

Естественная область определения: a-5≥0, значит 5-a≤0. Множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

Извлечение квадратного корня из суммы или разности

При работе с иррациональными числами наибольшие затруднения возникают в случае, когда необходимо извлечь корень из суммы или разности двух чисел: чаще одного рационального, а другого - иррационального. Рассмотрим на примере:

Так как отсутствует формула, позволяющая разбить данный корень на разность двух корней, 

мы воспользуемся следующими формулами: 

 и

Таким образом, выделив под корнем три слагаемых и свернув их в формулу квадрата разности (в нашем случае), извлечем корень из квадрата, что упростит дальнейшие вычисления.

Итак, начнем с иррационального числа, в нашем случае это -16√3. То, что число отрицательное, показывает нам, что сворачивать будем в квадрат разности. Число -16√3 содержит в себе удвоенное произведение двух чисел. Т.е. -16√3=-2ab. Это означает, что ab=8√3. Переберем все возможные варианты:

1. 8√3=8*√3;
2. 8√3=2*4√3;
3. 8√3=4*2√3;
4. 8√3=1*8√3.

Для формулы необходимо к удвоенному произведению добавить сумму квадратов выражений a и b. Выполним это для каждого из вариантов и определим, в каком из случаев сумма будет составлять 28, чего требует условие.

1. -2*8*√3+64+3=67-16√3;
2. -2*2*4√3+4+48=52-16√3;
3. -2*4*2√3+16+12=28-16√3;
4. -2*1*8√3+1+192=193-16√3.

Получается, что нам подходит третий случай, в котором выражение 28-16√3 раскладывается в формулу квадрата разности двух выражений: 4 и 2√3. Свернем по формуле и продолжим вычисления: 

Теперь необходим раскрыть модуль, используя определения модуля. Для этого нужно определить знак подмодульного выражения. Т.к. 4>2√3 (чтобы узнать, какое число больше, можно просто возвести оба этих числа в квадрат. И т.к. квадрат 4 равен 16, а квадрат 2√3 равен 12 и 16>12, то и 4>2√3), то модуль раскрывается с тем же знаком, т.е. |4-2√3|=4-2√3.

Для закрепления данной темы предлагаю вам самостоятельно извлечь корень из следующих выражений: